第2题

设

P_1(x) = x^2 - 2

，且对

P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))

，定义

j = 2, 3, \ldots

。证明：对于任意正整数

n

，方程

P_n(x) = x

的所有根都为实数且两两不同。

第 4/6 步：求解三角方程

上一步下一步

通俗地说

余弦相等恒等式中的两种符号 $\pm$ 选择，正好产生两族独立的等差角度序列，随后将分别对它们进行计数。

\theta = \frac{2k\pi}{2^n-1} \ \text{ or } \ \theta = \frac{2l\pi}{2^n+1}

详细分析

$\cos A=\cos B$ 当且仅当存在某个整数 $A=\pm B+2k\pi$ ，使得 $k$ 。令 $A=2^n\theta$ 、 $B=\theta$ ，得到两族解： $(2^n-1)\theta=2k\pi$ ，即 $\theta=\dfrac{2k\pi}{2^n-1}$ ；或者 $(2^n+1)\theta=2l\pi$ ，即 $\theta=\dfrac{2l\pi}{2^n+1}$ ，其中 $k,l$ 为整数。