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第2题

设 P1(x)=x2−2P_1(x) = x^2 - 2，且对 Pj(x)=P1(Pj−1(x))P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))，定义 j=2,3,…j = 2, 3, \ldots。证明：对于任意正整数 nn，方程 Pn(x)=xP_n(x) = x 的所有根都为实数且两两不同。
第 5/6 步：在 x=2cos⁡θx=2\cos\theta 中计数不同的 [0,π][0,\pi] 值
上一步下一步
通俗地说

对三角方程的解进行计数时，总要先固定一个基本区间；这里选择 [0,π][0,\pi]，正好利用了 cos⁡\cos 在该区间上的双射性质，从而可以进行精确计数。

2n−1+(2n−1+1)−1=2n2^{n-1} + \big(2^{n-1}+1\big) - 1 = 2^n
详细分析

由于 cos⁡θ\cos\theta 在 θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] 时恰好取到每个值一次，为避免重复计数，将范围限制在此区间内：由第一族得到 0≤k≤2n−1−120\le k\le 2^{n-1}-\tfrac12，即 2n−12^{n-1} 有 kk 个整数值；由第二族得到 0≤l≤2n−1+120\le l\le 2^{n-1}+\tfrac12，即 2n−1+12^{n-1}+1 有 ll 个整数值。两族仅在 θ=0\theta=0 和 k=0k=0 时重合，此时 l=0l=0。因此，θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] 中不同角度的总数，以及相应不同的 x=2cos⁡θx=2\cos\theta 值的总数，均为 2n−1+(2n−1+1)−1=2n2^{n-1}+(2^{n-1}+1)-1=2^n。