第2题

设

P_1(x) = x^2 - 2

，且对

P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))

，定义

j = 2, 3, \ldots

。证明：对于任意正整数

n

，方程

P_n(x) = x

的所有根都为实数且两两不同。

第 6/6 步：将根数与次数相匹配

上一步下一步

通俗地说

次数为 $d$ 的多项式方程至多有 $d$ 个根；通过直接构造恰好 $d$ 个不同的实根，可以最简洁地证明所有根都是实数且为单根，没有遗漏。

\deg P_n = 2^n

详细分析

每次应用 $P_1$ 都会使最高次项的次数翻倍，因此 $P_n$ 的次数为 $2^n$ ，而 $P_n(x)-x=0$ 是一个次数为 $2^n$ 的多项式方程（对次数进行归纳即可确认）。计入重数，它至多有 $2^n$ 个根；第 5 步已经构造出恰好 $2^n$ 个满足该方程的不同实数 $x$ 。因此，这 $2^n$ 个根全部被找到，且它们都是实数并两两不同。