第3题

一个长方体形状的盒子恰好可以被棱长为

1

的正方体完全填满。如果将体积为

2

的正方体尽可能多地放入盒子中（各边分别与盒子的边平行），则这些正方体恰好占据盒子体积的

40\%

。求所有这类盒子可能的尺寸。

第 1/6 步：设置整数边长与可放入的个数

上一步下一步

通俗地说

沿整数边放置棱长为无理数 $\sqrt[3]2$ 的正方体时，总会留下一段空隙；取整函数正好可以计算在出现这段空隙之前能放入多少个完整的正方体。

x=\left\lfloor\frac{a}{\sqrt[3]2}\right\rfloor,\quad y=\left\lfloor\frac{b}{\sqrt[3]2}\right\rfloor,\quad z=\left\lfloor\frac{c}{\sqrt[3]2}\right\rfloor

详细分析

由于盒子恰能被单位正方体铺满，其边长 $a,b,c$ 均为正整数，体积为 $V_1=abc$ 。体积为 $2$ 的正方体棱长为 $\sqrt[3]2$ ；沿长度为 $a$ 的边（各边平行）最多能放入 $x=\left\lfloor a/\sqrt[3]2\right\rfloor$ 个，同理对长度为 $b,c$ 的边定义 $y,z$ 。因此盒子中最多能放入 $xyz$ 个体积为 $2$ 的正方体，占据体积 $V_2=2xyz$ 。