第3题

一个长方体形状的盒子恰好可以被棱长为

1

的正方体完全填满。如果将体积为

2

的正方体尽可能多地放入盒子中（各边分别与盒子的边平行），则这些正方体恰好占据盒子体积的

40\%

。求所有这类盒子可能的尺寸。

第 4/6 步：确定第一条边

上一步下一步

通俗地说

将三个比值排序后，只需将最大者与 $5$ 的立方根比较。手工检验较小的整数 $a=2,3,4$ （更大的值已由收缩上界的论证排除），就能迅速确定其精确值。

a=2,\ \frac ax=2

详细分析

不妨设 $a/x\ge b/y\ge c/z$ ，于是 $a/x\ge\sqrt[3]5$ 。若 $a\ge4$ ，则 $x\ge3$ ，且 $a/x<\sqrt[3]2(1+1/3)=\sqrt[3]2\cdot\frac43<\sqrt[3]5$ （因为 $2\cdot4^3<5\cdot3^3$ ），矛盾；故 $a\in\{2,3\}$ 。当 $a=3$ 时， $x=2$ 且 $a/x=3/2<\sqrt[3]5$ ，同样矛盾。因此 $a=2$ ， $x=1$ ，且 $a/x=2$ 。