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第3题

一个长方体形状的盒子恰好可以被棱长为 11 的正方体完全填满。如果将体积为 22 的正方体尽可能多地放入盒子中（各边分别与盒子的边平行），则这些正方体恰好占据盒子体积的 40%40\%。求所有这类盒子可能的尺寸。
第 6/6 步：确定第三条边并得出结论
上一步下一步
通俗地说

到第三条边为止，同样的三步模式——对较大值收缩上界，再手工检验剩下的少数小候选——已对每条边各应用一次，系统地穷尽了所有情形而没有遗漏。

cz=32,c∈{3,6}\frac cz=\frac32,\qquad c\in\{3,6\}
详细分析

现在 c/z=5/2÷(5/3)=3/2c/z=5/2\div(5/3)=3/2。若 c≥8c\ge8，则 z≥6z\ge6，且 c/z<23(1+1/6)<3/2c/z<\sqrt[3]2(1+1/6)<3/2（因为 2⋅73<33⋅632\cdot7^3<3^3\cdot6^3），矛盾。检验 c=1,…,7c=1,\ldots,7 后，满足 c/z=3/2c/z=3/2 的只有 c=3c=3（此时 z=2z=2）和 c=6c=6（此时 z=4z=4）。结合第 4—5 步得到的 a=2,b=5a=2,b=5，唯一可能的盒子（不计边的排列）为 {a,b,c}={2,3,5}\{a,b,c\}=\{2,3,5\} 和 {2,5,6}\{2,5,6\}。