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第5题

考虑关于 q=2pq=2p 个未知数 x1,…,xqx_1,\ldots,x_q 的 pp 个方程，其中每个系数 aija_{ij} 都属于 {−1,0,1}\{-1,0,1\}。证明该方程组存在一个解，使得：(a) 所有 xjx_j 都是整数；(b) 至少有一个 xj≠0x_j\ne0；(c) 对每个 jj 都有 ∣xj∣≤q|x_j|\le q。
第 4/5 步：比较数量
上一步下一步
通俗地说

这个严格不等式是应用抽屉原理所需的唯一数值估计。

(q+1)q−1=(q2+1+2q)q/2−1>(q2+1)q/2(q+1)^q-1=(q^2+1+2q)^{q/2}-1>(q^2+1)^{q/2}
详细分析

由于 q=2pq=2p，展开 (q2+1+2q)q/2(q^2+1+2q)^{q/2}。其首项为 (q2+1)q/2(q^2+1)^{q/2}，而其余二项式项之和大于 11；因此 (q+1)q−1>(q2+1)q/2(q+1)^q-1>(q^2+1)^{q/2}。