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第6题

数列 (un)(u_n) 定义如下：u0=2u_0=2，u1=52u_1=\frac52，并且对 n=1,2,…n=1,2,\ldots 有 un+1=un(un−12−2)−u1u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1。证明对每个正整数 nn，都有 ⌊un⌋=22n−(−1)n3\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}，其中 ⌊x⌋\lfloor x\rfloor 表示不超过 xx 的最大整数。
第 1/6 步：记录递推式
上一步下一步
通俗地说

该递推式正好适用于恒等式 (2r+2−r)2−2=22r+2−2r(2^r+2^{-r})^2-2=2^{2r}+2^{-2r}。

u0=2,u1=52,un+1=un(un−12−2)−u1u_0=2,\quad u_1=\frac52,\quad u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1
详细分析

我们需要证明满足 u0=2u_0=2、u1=52u_1=\frac52 以及当 un+1=un(un−12−2)−u1u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1 时满足 n≥1n\ge1 的数列的取整公式。关键思路是将每一项表示为 22 的幂与其倒数之和。