MathLabs

第6题

数列 (un)(u_n) 定义如下：u0=2u_0=2，u1=52u_1=\frac52，并且对 n=1,2,…n=1,2,\ldots 有 un+1=un(un−12−2)−u1u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1。证明对每个正整数 nn，都有 ⌊un⌋=22n−(−1)n3\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}，其中 ⌊x⌋\lfloor x\rfloor 表示不超过 xx 的最大整数。
第 2/6 步：引入辅助整数列
上一步下一步
通俗地说

指数序列遵循的两步递推规则，正是递推式中相乘的指数表达式所产生的规则。

x0=0,x1=1,xn=xn−1+2xn−2x_0=0,\quad x_1=1,\quad x_n=x_{n-1}+2x_{n-2}
详细分析

定义 x0=0x_0=0、x1=1x_1=1，并且当 xn=xn−1+2xn−2x_n=x_{n-1}+2x_{n-2} 时令 n≥2n\ge2。其特征方程为 r2−r−2=0r^2-r-2=0，根为 22 和 −1-1，因此 xn=2n−(−1)n3x_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3}。