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第6题

数列 (un)(u_n) 定义如下：u0=2u_0=2，u1=52u_1=\frac52，并且对 n=1,2,…n=1,2,\ldots 有 un+1=un(un−12−2)−u1u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1。证明对每个正整数 nn，都有 ⌊un⌋=22n−(−1)n3\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}，其中 ⌊x⌋\lfloor x\rfloor 表示不超过 xx 的最大整数。
第 3/6 步：构造模型序列
上一步下一步
通俗地说

这是一次“换坐标”：unu_n 的非线性递推，在指数 xnx_n 中变成了线性加法。

an=2xn+2−xna_n=2^{x_n}+2^{-x_n}
详细分析

令 an=2xn+2−xna_n=2^{x_n}+2^{-x_n}。初值相同：a0=2=u0a_0=2=u_0，且 a1=2+12=52=u1a_1=2+\frac12=\frac52=u_1。下面证明 ana_n 满足与 unu_n 相同的递推式。