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第6题

数列 (un)(u_n) 定义如下：u0=2u_0=2，u1=52u_1=\frac52，并且对 n=1,2,…n=1,2,\ldots 有 un+1=un(un−12−2)−u1u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1。证明对每个正整数 nn，都有 ⌊un⌋=22n−(−1)n3\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}，其中 ⌊x⌋\lfloor x\rfloor 表示不超过 xx 的最大整数。
第 5/6 步：验证 ana_n 的递推式
上一步下一步
通俗地说

展开指数乘积后，复杂的递推式会得到简化；交替项恰好被减去 u1u_1 消去。

an−1(an−22−2)−a1=ana_{n-1}(a_{n-2}^2-2)-a_1=a_n
详细分析

利用 (2r+2−r)2−2=22r+2−2r(2^r+2^{-r})^2-2=2^{2r}+2^{-2r} 以及 xn=xn−1+2xn−2x_n=x_{n-1}+2x_{n-2} 展开，得到：an−1(an−22−2)=2xn+2−xn+2xn−1−2xn−2+2−xn−1+2xn−2a_{n-1}(a_{n-2}^2-2)=2^{x_n}+2^{-x_n}+2^{x_{n-1}-2x_{n-2}}+2^{-x_{n-1}+2x_{n-2}}。第 4 步说明最后两项之和等于 a1a_1，因此减去 a1a_1 后得到 ana_n。所以 ana_n 与 unu_n 具有相同的初值和递推式，从而对所有 un=anu_n=a_n 都有 nn。