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第6题

数列 (un)(u_n) 定义如下：u0=2u_0=2，u1=52u_1=\frac52，并且对 n=1,2,…n=1,2,\ldots 有 un+1=un(un−12−2)−u1u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1。证明对每个正整数 nn，都有 ⌊un⌋=22n−(−1)n3\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}，其中 ⌊x⌋\lfloor x\rfloor 表示不超过 xx 的最大整数。
第 6/6 步：取整数部分
上一步下一步
通俗地说

整数加上一个介于 0 与 11 的正分数，其整数部分就是该整数；序列 xnx_n 的闭式正是目标公式中的指数。

⌊un⌋=2xn=22n−(−1)n3\lfloor u_n\rfloor=2^{x_n}=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}
详细分析

当 n≥1n\ge1 时，xnx_n 是正整数，所以 2xn2^{x_n} 是整数，且 0<2−xn<10<2^{-x_n}<1。由于 un=an=2xn+2−xnu_n=a_n=2^{x_n}+2^{-x_n}，可得 ⌊un⌋=2xn\lfloor u_n\rfloor=2^{x_n}。代入第 2 步得到的闭式，便有 ⌊un⌋=22n−(−1)n3\boxed{\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}}，证毕。