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第1题

设 mm 和 nn 是满足 1≤m<n1 \le m < n 的正整数。已知 1978m1978^m 的十进制表示的末三位数字与 1978n1978^n 的末三位数字相同。求使 mm 取最小值的 nn 和 m+nm+n。
第 1/8 步：把数字条件转化为同余式
上一步下一步
通俗地说

“末三位相同”本质上就是模 1000 的同余关系。

1978n≡1978m(mod1000)  ⟺  1978m(1978 n−m−1)≡0(mod1000)1978^n \equiv 1978^m \pmod{1000} \iff 1978^m\left(1978^{\,n-m}-1\right)\equiv 0 \pmod{1000}
详细分析

两个正整数的末三位数字相同，当且仅当它们的差是 10001000 的倍数。把这一点用于 1978n1978^n 与 1978m1978^m，并提出公因子 1978m1978^m，即得等价的乘法条件。