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第1题

设 mm 和 nn 是满足 1≤m<n1 \le m < n 的正整数。已知 1978m1978^m 的十进制表示的末三位数字与 1978n1978^n 的末三位数字相同。求使 mm 取最小值的 nn 和 m+nm+n。
第 3/8 步：由因子 8 迫使 m ≥ 3
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通俗地说

奇数因子不能提供任何 2 的幂，所以三个 2 的因子必须全部来自 1978^m。

1978≡2(mod8)  ⇒  8∣1978m  ⟺  m≥31978 \equiv 2 \pmod 8 \;\Rightarrow\; 8 \mid 1978^m \iff m \ge 3
详细分析

对模 8 部分，1978 n−m−11978^{\,n-m}-1 是奇数，因此 88 必须直接整除 1978m1978^m。由 1978≡2(mod8)1978\equiv 2\pmod 8 可知，这恰好在 m≥3m\ge 3 时成立。