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第1题

设 mm 和 nn 是满足 1≤m<n1 \le m < n 的正整数。已知 1978m1978^m 的十进制表示的末三位数字与 1978n1978^n 的末三位数字相同。求使 mm 取最小值的 nn 和 m+nm+n。
第 4/8 步：把模 125 部分归结为阶的条件
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通俗地说

1978^m 模 125 可逆，可以从同余式中完全消去。

gcd⁡(1978,125)=1  ⇒  1978 n−m≡1(mod125)\gcd(1978,125)=1 \;\Rightarrow\; 1978^{\,n-m}\equiv 1 \pmod{125}
详细分析

由于 19781978 模 125125 可逆，模 125125 的条件 1978m(1978 n−m−1)≡01978^m\left(1978^{\,n-m}-1\right)\equiv 0 直接化简为与 1978 n−m≡1(mod125)1978^{\,n-m}\equiv 1\pmod{125} 无关的 mm。