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第2题

在一个固定球的内部取一个固定点 PP。作三条两两垂直的线段 PA,PB,PCPA, PB, PC,其端点 A,B,CA, B, C 都在球面上。以 QQ 为棱作长方体,设 PP 为其中与 PA,PB,PCPA, PB, PC 相对的顶点。当 QQ 取遍所有符合条件的位置时,求点 A,B,CA, B, C 的轨迹。
第 1/7 步:用长方体的顶点结构表示 Q
通俗地说

在长方体中,沿着从 P 出发的三条棱走一遍即可到达对角顶点。

Q=A+B+C−2PQ = A+B+C-2P
A、B、C 所在的固定球面,及其内部的点 P。
以 3D 方式渲染的球面,代表题目中包含 A、B、C 三点的固定球面。
详细分析

取球心 OO 为位置向量的原点,QQ 是以两两垂直的棱 PP 构成的长方体中与 PA,PB,PCPA,PB,PC 相对的顶点,因此 Q=P+PA⃗+PB⃗+PC⃗=A+B+C−2PQ = P+\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC} = A+B+C-2P。