MathLabs

第2题

在一个固定球的内部取一个固定点 PP。作三条两两垂直的线段 PA,PB,PCPA, PB, PC，其端点 A,B,CA, B, C 都在球面上。以 QQ 为棱作长方体，设 PP 为其中与 PA,PB,PCPA, PB, PC 相对的顶点。当 QQ 取遍所有符合条件的位置时，求点 A,B,CA, B, C 的轨迹。
第 3/7 步：对垂直向量应用勾股恒等式
上一步下一步
通俗地说

垂直的棱会把长度的平方相加，就像把二维勾股定理推广到三维一样。

∣PQ⃗∣2=∣PA⃗∣2+∣PB⃗∣2+∣PC⃗∣2|\vec{PQ}|^2 = |\vec{PA}|^2+|\vec{PB}|^2+|\vec{PC}|^2
详细分析

由于 PA⃗,PB⃗,PC⃗\vec{PA},\vec{PB},\vec{PC} 两两垂直，将它们的和平方后所有交叉项都消失，因此 ∣PQ⃗∣2|\vec{PQ}|^2 等于三条棱长度平方之和——这是空间中的勾股定理。