第3题

设

0<f(1)<f(2)<f(3)<\ldots

是一个各项均为正整数的数列。不属于该数列的第

n

个正整数为

f(f(n))+1

。求

f(240)

。

第 2/5 步：推导计数递推关系

上一步下一步

通俗地说

一个已知值通过计数其下的数列项与缺项，产生两个新项。

f(n)=k \;\Longrightarrow\; f(k)=n+k-1,\quad f(k+1)=n+k+1

详细分析

设 $f(n)=k$ 。第 $n$ 个缺项是 $f(k)+1$ ，因此从 $1$ 到 $f(k)+1$ 恰有 $n$ 个缺项和 $k$ 个数列项。故 $n+k=f(k)+1$ ，即 $f(k)=n+k-1$ 。于是第 $n$ 个缺项为 $n+k$ ，下一个整数 $n+k+1$ 属于数列，等于 $f(k+1)$ 。