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第4题

在三角形 ABCABC 中 AB=ACAB=AC。一圆与外接圆内切，并在 AB,ACAB,AC 上分别与 P,QP,Q 相切。证明 PQPQ 的中点是三角形 ABC 的内心。
第 4/5 步：确定中点
上一步下一步
通俗地说

中点在角平分线上。

AP=L1+sin⁡α,AM=Lcos⁡α1+sin⁡αAP=\frac{L}{1+\sin\alpha},\quad AM=\frac{L\cos\alpha}{1+\sin\alpha}
详细分析

切线长为 AP=scos⁡α=L/(1+sin⁡α)AP=s\cos\alpha=L/(1+\sin\alpha)。因 P,QP,Q 对称，中点 MM 在轴上且 AM=APcos⁡α=Lcos⁡α/(1+sin⁡α)AM=AP\cos\alpha=L\cos\alpha/(1+\sin\alpha)。