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第5题

设 ff 是从 {1,2,3,…}\{1,2,3,\ldots\} 到自身的单射。证明对任意 nn 有 ∑k=1nf(k)k−2≥∑k=1nk−1\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}。
第 2/4 步：按递增排序
上一步下一步
通俗地说

递减权重应先配较小的数。

∑k=1nakk2≥∑k=1nak↑k2\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k^2}\ge\sum_{k=1}^n\frac{a_k^\uparrow}{k^2}
详细分析

权重 1,1/4,…,1/n21,1/4,\ldots,1/n^2 随 kk 递减。重排不等式表明把最小值配给最大权重时总和最小，所以将 aka_k 递增排序不会使总和变大。