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第5题

设 ff 是从 {1,2,3,…}\{1,2,3,\ldots\} 到自身的单射。证明对任意 nn 有 ∑k=1nf(k)k−2≥∑k=1nk−1\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}。
第 3/4 步：利用互异性
上一步下一步
通俗地说

互异正整数不可能小于 1,2,...,n。

ak↑≥k⇒∑k=1nak↑k2≥∑k=1nkk2a_k^\uparrow\ge k\quad\Rightarrow\quad\sum_{k=1}^n\frac{a_k^\uparrow}{k^2}\ge\sum_{k=1}^n\frac{k}{k^2}
详细分析

递增排列 ak↑a_k^\uparrow 由互异正整数组成，因此第 kk 项至少为 kk。乘以正权重 1/k21/k^2 并求和即得上式。