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国际数学奥林匹克
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1978年
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第5题
第5题
设
f
f
f
是从
{
1
,
2
,
3
,
…
}
\{1,2,3,\ldots\}
{
1
,
2
,
3
,
…
}
到自身的单射。证明对任意
n
n
n
有
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
k
−
2
≥
∑
k
=
1
n
k
−
1
\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
k
−
2
≥
∑
k
=
1
n
k
−
1
。
第 4/4 步：得出不等式
上一步
下一步
通俗地说
恒等排列达到最小值。
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
k
2
≥
∑
k
=
1
n
k
k
2
=
∑
k
=
1
n
1
k
\sum_{k=1}^n\frac{f(k)}{k^2}\ge\sum_{k=1}^n\frac{k}{k^2}=\sum_{k=1}^n\frac1k
k
=
1
∑
n
k
2
f
(
k
)
≥
k
=
1
∑
n
k
2
k
=
k
=
1
∑
n
k
1
详细分析
结合重排步骤与
a
k
=
f
(
k
)
a_k=f(k)
a
k
=
f
(
k
)
，恰好得到所需不等式。
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