国际数学奥林匹克 · 1986年

试题

第1题设 $d$ 是不等于 $2$ 、 $5$ 、 $13$ 的任意正整数。证明可以在集合 $\{2, 5, 13, d\}$ 中找到两个不同的元素 $a$ 和 $b$ ，使得 $ab - 1$ 不是完全平方数。解法: 2
第2题在三角形 $A_1A_2A_3$ 所在平面内给定一点 $P_0$ ，对所有 $s\ge4$ 定义 $A_s=A_{s-3}$ 。构造点列 $P_1,P_2,\ldots$ ，使 $P_{k+1}$ 是 $P_k$ 绕 $A_{k+1}$ 顺时针旋转 $120^\circ$ 的像。证明：若 $P_{1986}=P_0$ ，则三角形 $A_1A_2A_3$ 为等边三角形。解法: 1
第3题在正五边形的每个顶点赋予一个整数，使五个数的总和为正。若三个连续顶点上的数为 $x,y,z$ 且 $y<0$ ，就依次替换为 $x+y,-y,z+y$ 。只要仍有负数就重复操作。问此过程是否必定在有限步后结束？解法: 2
第4题设 $A,B$ 是中心为 $O$ 的正 $n$ 边形（ $n\ge5$ ）的相邻顶点。三角形 $XYZ$ 与 $OAB$ 全等且初始时重合，运动时 $Y$ 与 $Z$ 各自走遍多边形的整个边界，而 $X$ 始终在多边形内部。求 $X$ 的轨迹。解法: 1
第5题求所有把非负实数映射到非负实数的全射函数 $f$ ，满足对所有非负实数 $x,y$ 有 $f(xf(y))f(y)=f(x+y)$ ，且 $f(2)=0$ ，以及对每个 $0\le x<2$ 都有 $f(x)\ne0$ 。解法: 2
第6题给定平面上的有限点集，每个点具有整数坐标。是否总能把这些点染成红色或白色，使得对每条平行于某一坐标轴的直线 $L$ ，其上直线 $L$ 上白点数与红点数之差的绝对值不超过 $1$ ？解法: 1