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国际数学奥林匹克 · 1988年

试题

  1. 第1题两个同心圆半径为 R>rR>r。P 固定在小圆上，B 在大圆上运动。BP 与大圆再交于 C；过 P 作 BP 的垂线与小圆再交于 A（若为切线则 A=P）。（i）求 AB2+BC2+CA2AB^2+BC^2+CA^2 的取值集合；（ii）求 BC 中点的轨迹。解法: 1
  2. 第2题设 nn 为正整数，A1,…,A2n+1A_1,\ldots,A_{2n+1} 是 BB 的子集。每个 AiA_i 恰有 2n2n 个元素，任意两个不同的 AiA_i 恰有一个公共元素，且 BB 的每个元素至少属于两个 AiA_i。哪些 nn 可以使每个 AiA_i 恰有 nn 个元素被标为0？解法: 1
  3. 第3题函数 ff 定义在正整数上，并满足 f(1)=1f(1)=1、f(3)=3f(3)=3、f(2n)=f(n)f(2n)=f(n)、f(4n+1)=2f(2n+1)−f(n)f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)、f(4n+3)=3f(2n+1)−2f(n)f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)。求满足 n≤1988n\le1988 且 f(n)=nf(n)=n 的正整数个数。解法: 1
  4. 第4题证明不等式 ∑k=170kx−k≥54\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\ge\frac{5}{4} 的解集是若干互不相交区间的并，且这些区间的总长度为 19881988。解法: 1
  5. 第5题ABCABC 是在 AA 处直角的三角形，ADAD 是斜边上的高。连接 ABDABD 与 ACDACD 的内心，该直线分别与 AB,ACAB,AC 交于 K,LK,L。若 SS 和 TT 分别是 ABCABC 和 AKLAKL 的面积，证明 S≥2TS\ge2T。解法: 1
  6. 第6题设 a,ba,b 为正整数且 ab+1ab+1 整除 a2+b2a^2+b^2。证明 (a2+b2)/(ab+1)(a^2+b^2)/(ab+1) 是某个整数的平方。解法: 1