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第1题

求满足1<a<b<c1<a<b<c且(a−1)(b−1)(c−1)(a-1)(b-1)(c-1)为abc−1abc-1的因数的所有整数a,b,c。
第 6/6 步：排除q≥3时的a=3和a=4
上一步下一步
a=3 or 4, q≥3 ⟹ (2q−3)bc>2q(b+c) or (3q−4)bc>3q(b+c)a=3\text{ or }4,\ q\ge3\ \Longrightarrow\ (2q-3)bc>2q(b+c)\text{ or }(3q-4)bc>3q(b+c)
详细分析

当a=3时整理得(2q−3)bc+(2q+1)=2q(b+c)。因b≥4,左边乘积项至少为(8q−12)c,大于2q(b+c)。当a=4时方程为(3q−4)bc+(3q+1)=3q(b+c),b≥5时有更强的严格不等式。两种情形均不可能。因此唯一解为(2,4,8)和(3,5,15),直接代入可验证。