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第2题

求所有函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R，使对任意实数 x,yx,y 都有 f(x2+f(y))=y+f(x)2f(x^2+f(y))=y+f(x)^2。
第 2/5 步：推出 f(0)=0f(0)=0
上一步下一步
通俗地说

推出 f(0)=0f(0)=0

f(t2+f(1)2)=1+t+2t2+t4=1+t+t4f(t^2+f(1)^2)=1+t+2t^2+t^4=1+t+t^4
详细分析

第一个恒等式给出 f(t2+f(1)2)=t+(1+t2)2=1+t+2t2+t4f(t^2+f(1)^2)=t+(1+t^2)^2=1+t+2t^2+t^4。另一方面在原方程中取 x=t,y=1+tx=t,y=1+t，并用 f(1+t)=f(1)2f(1+t)=f(1)^2、f(t)=t2f(t)=t^2，得到 f(t2+f(1)2)=1+t+t4f(t^2+f(1)^2)=1+t+t^4。因此 2t2=02t^2=0，故 t=0t=0。