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第2题

求所有函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R，使对任意实数 x,yx,y 都有 f(x2+f(y))=y+f(x)2f(x^2+f(y))=y+f(x)^2。
第 3/5 步：推出正增量的可加性
上一步下一步
通俗地说

推出正增量的可加性

f(f(x))=x,f(x2)=f(x)2,f(x2+y)=f(x)+f(y)f(f(x))=x,\qquad f(x^2)=f(x)^2,\qquad f(x^2+y)=f(x)+f(y)
详细分析

当 t=0t=0 时，有 f(f(x))=xf(f(x))=x、f(x2)=f(x)2f(x^2)=f(x)^2。在原方程中令 yy，再令 z=f(y)z=f(y)；因 y=f(z)y=f(z)，得到 f(x2+y)=f(y)+f(x)2=f(y)+f(x2)f(x^2+y)=f(y)+f(x)^2=f(y)+f(x^2)。写成 u=x2u=x^2，即对所有 u>0u>0 有 f(u+y)=f(u)+f(y)f(u+y)=f(u)+f(y)。