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第2题

求所有函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R，使对任意实数 x,yx,y 都有 f(x2+f(y))=y+f(x)2f(x^2+f(y))=y+f(x)^2。
第 4/5 步：把可加性扩展到所有实增量
上一步下一步
通俗地说

把可加性扩展到所有实增量

f(−x)=−f(x),f(x+y)=f(x)+f(y)f(-x)=-f(x),\qquad f(x+y)=f(x)+f(y)
详细分析

在正增量恒等式中取 y=−xy=-x，得到当 x>0x>0 时 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)。结合奇性与前面的恒等式，对所有实数 x,yx,y 有 f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) 以及 f(x−y)=f(x)−f(y)f(x-y)=f(x)-f(y)。