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第2题

求所有函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R，使对任意实数 x,yx,y 都有 f(x2+f(y))=y+f(x)2f(x^2+f(y))=y+f(x)^2。
第 5/5 步：利用非负性确定函数
上一步下一步
通俗地说

利用非负性确定函数

f(z)=−z<0andf(z)=f(w2)=f(w)2≥0f(z)=-z<0\quad\text{and}\quad f(z)=f(w^2)=f(w)^2\ge0
详细分析

假设 f(x)=y≠xf(x)=y\ne x。若 y>xy>x，令 z=y−x>0z=y-x>0；若 y<xy<x，令 z=x−y>0z=x-y>0。由可加性，两种情况下都有 f(z)=−z<0f(z)=-z<0。取 ww 使 w2=zw^2=z，则 f(z)=f(w2)=f(w)2≥0f(z)=f(w^2)=f(w)^2\ge0，矛盾。因此对所有实数 xx 都有 f(x)=xf(x)=x，直接代入即可验证。