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第5题

设 SS 是空间中的有限点集，Sx,Sy,SzS_x,S_y,S_z 分别为它在 yzyz、zxzx、xyxy 平面上的正交投影。证明 ∣S∣2≤∣Sx∣∣Sy∣∣Sz∣|S|^2\le |S_x||S_y||S_z|。
第 2/4 步：分成两个非空高度范围
上一步下一步
通俗地说

分成两个非空高度范围

∣S∣=∣T∣+∣U∣,∣Sx∣=∣Tx∣+∣Ux∣,∣Sy∣=∣Ty∣+∣Uy∣|S|=|T|+|U|,\qquad |S_x|=|T_x|+|U_x|,\qquad |S_y|=|T_y|+|U_y|
详细分析

取水平面把 S 分为非空的 T,U。它们在 yz、zx 上的投影按高度不相交，且 Tz,Uz⊆SzT_z,U_z\subseteq S_z，所以所示投影等式成立。