第6题

对每个正整数

n

，令

S(n)

为使所有

k\le S(n)

都能把

n^2

写成

k

个正平方数之和的最大整数。(a) 证明

S(n)\le n^2-14

对

n\ge4

成立；(b) 找出取等号的

n

；(c) 证明这样的

n

有无穷多个。

第 1/5 步：证明普遍上界

上一步下一步

通俗地说

证明普遍上界

13=3a+8b+15c+\cdots

详细分析

令 $N=n^2$ 。若 N 能表示为 $N-13$ 个正平方之和，相对于同样多的1，余量为 $13$ 。可用的余量是 $3,8,15,\ldots$ ，所以 $13=3a+8b+15c+\cdots$ 。因 $15>13$ ，这化为无解的 $13=3a+8b$ 。故 $N-13$ 不可能， $S(n)\le N-14$ 。