第6题

对每个正整数

n

，令

S(n)

为使所有

k\le S(n)

都能把

n^2

写成

k

个正平方数之和的最大整数。(a) 证明

S(n)\le n^2-14

对

n\ge4

成立；(b) 找出取等号的

n

；(c) 证明这样的

n

有无穷多个。

第 2/5 步：在

n=13

时达到界

上一步下一步

通俗地说

在 $n=13$ 时达到界

169=9+4+4+152\cdot1^2

详细分析

当 $N=169$ 时，所示表示有 $155=N-14$ 项。把四个 $1^2$ 换成一个 $2^2$ ，项数减少3；继续把四个 $2^2$ 、再把四个 $4^2$ 合并，得到所有项数 $38,35,\ldots,11,8,5$ 。最后 $169=12^2+5^2$ 给出项数2。