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第6题

对每个正整数 nn，令 S(n)S(n) 为使所有 k≤S(n)k\le S(n) 都能把 n2n^2 写成 kk 个正平方数之和的最大整数。(a) 证明 S(n)≤n2−14S(n)\le n^2-14 对 n≥4n\ge4 成立；(b) 找出取等号的 nn；(c) 证明这样的 nn 有无穷多个。
第 3/5 步：覆盖另外两个剩余类
上一步下一步
通俗地说

覆盖另外两个剩余类

169=5⋅42+149⋅12,169=92+92+151⋅12169=5\cdot4^2+149\cdot1^2,\quad169=9^2+9^2+151\cdot1^2
详细分析

表示 169=5⋅42+149⋅12169=5\cdot4^2+149\cdot1^2 与 169=92+92+151⋅12169=9^2+9^2+151\cdot1^2 通过同样的合并操作覆盖另外两个剩余类。项数7、4、3、6的显式分解填补短尾，因此所有 1≤k≤1551\le k\le155 都能实现，且 S(13)=155=132−14S(13)=155=13^2-14。