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第6题

对每个正整数 nn，令 S(n)S(n) 为使所有 k≤S(n)k\le S(n) 都能把 n2n^2 写成 kk 个正平方数之和的最大整数。(a) 证明 S(n)≤n2−14S(n)\le n^2-14 对 n≥4n\ge4 成立；(b) 找出取等号的 nn；(c) 证明这样的 nn 有无穷多个。
第 4/5 步：相乘完全平方
上一步下一步
通俗地说

相乘完全平方

N3=N1N2,1≤k≤K1K2N_3=N_1N_2,\qquad 1\le k\le K_1K_2
详细分析

若所有 1≤k≤Ki=Ni−141\le k\le K_i=N_i-14 都可表示，就称 NiN_i 完全。把 N1N_1 表成 i 个平方，并将每个块换成 N2N_2 的任意选定项数表示，由于从 i 到 iK_2 的区间相互重叠，乘积可表示所有 1≤k≤K1K21\le k\le K_1K_2。