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第6题

对每个正整数 nn，令 S(n)S(n) 为使所有 k≤S(n)k\le S(n) 都能把 n2n^2 写成 kk 个正平方数之和的最大整数。(a) 证明 S(n)≤n2−14S(n)\le n^2-14 对 n≥4n\ge4 成立；(b) 找出取等号的 nn；(c) 证明这样的 nn 有无穷多个。
第 5/5 步：填补剩余的大项数
上一步下一步
通俗地说

填补剩余的大项数

K1K2>23N1N2K_1K_2>\frac23N_1N_2
详细分析

当 N≥169N\ge169 时，每个余量 d≥14d\ge14 都可写成 d=3a+8bd=3a+8b；从全是1开始，把四个或九个相同平方合并，便覆盖大于 N/2N/2 且不超过 N−14N-14 的所有项数。由于 Ki=Ni−14>23NiK_i=N_i-14>\frac23N_i，乘积范围与这个大项数范围重叠。从 13213^2 反复相乘，得到无穷多个 132r13^{2r}，且 S(13r)=132r−14S(13^r)=13^{2r}-14。