国际数学奥林匹克 · 1993年

试题

第1题设 $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ ，其中 $n>1$ 为整数。证明 $f(x)$ 不能表示为两个具有整数系数的非常数多项式之积。解法: 2
第2题设 $D$ 在锐角三角形 $ABC$ 内部，满足 $\angle ADB=\angle ACB+\frac{\pi}{2}$ 且 $AC\cdot BD=AD\cdot BC$ 。(a) 求比值 $\frac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}$ 。(b) 证明 $\triangle ACD$ 与 $\triangle BCD$ 的外接圆在 $C$ 处的切线互相垂直。解法: 3
第3题在无限棋盘上，开始时将 $n^2$ 个棋子放在一个 $n$ 行 $n$ 列的方块中，每格一个。一步棋是水平或竖直跳过相邻的有子方格到紧接其后的空格，并移除被跳过的棋子。求能使最后只剩一个棋子的所有 $n$ 。解法: 1
第4题对平面上三点 $A,B,C$ ，令 $m(ABC)$ 为三角形 $ABC$ 三条高中的最小长度；若三点共线则令 $m(ABC)=0$ 。给定 $A,B,C$ ，证明平面上任意点 $X$ 都满足 $m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)$ 。解法: 1
第5题令 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ 。判断是否存在严格递增函数 $f:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N}$ 满足 (i) $f(1)=2$ ；(ii) $f(f(n))=f(n)+n$ ， $(n\in\mathbb{N})$ 。解法: 1
第6题圆周上有 $n$ 盏灯 $L_0,\ldots,L_{n-1}$ ，其中 $n>1$ 且 $L_{n+k}=L_k$ 。在步骤 $s_i$ 中，若 $L_{i-1}$ 亮，则切换 $L_i$ ，否则不操作。初始时所有灯都亮。证明：(a) 存在正整数 $M(n)$ ，使得经过 $M(n)$ 步后所有灯再次点亮；(b) 若 $n=2^k$ ，可取 $M(n)=n^2-1$ ；(c) 若 $n=2^k+1$ ，可取 $M(n)=n^2-n+1$ 。解法: 1