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国际数学奥林匹克 · 1994年

试题

  1. 第1题设 a1,…,ama_1,\ldots,a_m 是 {1,…,n}\{1,\ldots,n\} 中互异的元素，并满足：当 i≤ji\le j 且 ai+aj≤na_i+a_j\le n 时，该和也是某个 aka_k。证明 a1+⋯+amm≥n+12\frac{a_1+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}。解法: 1
  2. 第2题在等腰三角形 ABCABC 中 AB=ACAB=AC，令 MM 为 BCBC 的中点，并取满足 O∈AMO\in AM 且 OB⊥ABOB\perp AB 的点。对 Q∈BCQ\in BC，设 E∈ABE\in AB、F∈ACF\in AC 是与 QQ 共线的两个不同点。证明 OQ⊥EFOQ\perp EF 当且仅当 QE=QFQE=QF。解法: 1
  3. 第3题对于正整数 kk，令 f(k)f(k) 为 {k+1,…,2k}\{k+1,\ldots,2k\} 中二进制表示恰有三个 11 的整数个数。证明每个正整数 mm 都能取为某个 f(k)f(k)，并求出恰有一个 kk 满足 f(k)=mf(k)=m 的所有 mm。解法: 1
  4. 第4题求所有正整数有序对 (m,n)(m,n)，使得 n3+1mn−1\frac{n^3+1}{mn-1} 为整数。解法: 1
  5. 第5题令 SS 为所有大于 −1-1 的实数集合。求所有函数 f:S→Sf:S\to S，使任意 x,y∈Sx,y\in S 都有 f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)，且 f(x)x\frac{f(x)}{x} 在区间 −1<x<0-1<x<0 和 0<x0<x 上分别严格递增。解法: 1
  6. 第6题证明存在一个正整数集合 AA，具有如下性质：对任意无限素数集 SS，都存在正整数 m∈Am\in A 和 n∉An\notin A，且二者分别都是 SS 中某些 kk 个互异元素的乘积，其中 k≥2k\ge2。解法: 1