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第1题

In plane, 点s 满足整数 coordinates 是顶点 的unit 平方s, colored alternately black 且white as 上a chess棋盘. F或正整数 m,n m,n , consider a right 三角形 满足整数-coordinate 顶点 且legs 的长度s m,n m,n along 平方 边. 设 S1 S_1 be black 面积 且 S2 S_2 white 面积. Define f(m,n)=∣S1−S2∣ f(m,n)=|S_1-S_2| 译文：. (a) Calculate f(m,n) f(m,n) 译文： when m,n m,n 是both even 或both odd. (b) 证明 f(m,n)≤max⁡(m,n)/2 f(m,n)\le\max(m,n)/2. (c) 证明 no 常数 C C 译文： satisfies f(m,n)<C f(m,n)<C 对所有 m,n m,n .
第 1/3 步：计算 equal-parity cases
上一步下一步
通俗地说

计算 equal-parity cases

f(m,n)=0 or 1/2f(m,n)=0\text{ or }1/2
详细分析

Complete 三角形 到a rect角 且rotate it 由 180∘180^\circ about mid点 的its hypotenuse. 若 m,n m,n 是even, mid点 是a lattice 点 且two halves have equal black 且white 面积s, so f(m,n)=0 f(m,n)=0. 若 both 是odd, mid点 是中心 的a unit 平方 且rect角 has col或excess 11, so 每个half has excess 1/21/2.