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第1题

In plane, 点s 满足整数 coordinates 是顶点 的unit 平方s, colored alternately black 且white as 上a chess棋盘. F或正整数 m,n m,n , consider a right 三角形 满足整数-coordinate 顶点 且legs 的长度s m,n m,n along 平方 边. 设 S1 S_1 be black 面积 且 S2 S_2 white 面积. Define f(m,n)=∣S1−S2∣ f(m,n)=|S_1-S_2| 译文：. (a) Calculate f(m,n) f(m,n) 译文： when m,n m,n 是both even 或both odd. (b) 证明 f(m,n)≤max⁡(m,n)/2 f(m,n)\le\max(m,n)/2. (c) 证明 no 常数 C C 译文： satisfies f(m,n)<C f(m,n)<C 对所有 m,n m,n .
第 2/3 步：译文：Handle opposite parity
上一步下一步
通俗地说

译文：Handle opposite parity

f(m,n)≤max⁡(m,n)2f(m,n)\le\dfrac{\max(m,n)}2
详细分析

设 m m 是odd 且 n n even. Increase odd leg 到 m+1 m+1; enlarged 三角形 has equal legs even 且hence zero excess. The added 三角形 has base 11 且height n n , 面积 n/2 n/2, so original excess 是在most n/2≤max⁡(m,n)/2 n/2\le\max(m,n)/2.