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第6题

F或每个正整数 N N 译文：, let f(N) f(N) be 数 的ways 到represent N N as a 和 的powers 的 22 满足non-negative 整数 exponents; order 的和mands 是ignored. F或example, f(4)=4 f(4)=4. 证明 对每个 整数 n≥3 n\ge3, 2n2/4<f(2n)<2n2/22^{n^2/4}<f(2^n)<2^{n^2/2}.
第 4/5 步：使用 pairing lemma
上一步下一步
通俗地说

使用 pairing lemma

∑j=12rf(j)≥2rf(r)\sum_{j=1}^{2r}f(j)\ge2r f(r)
详细分析

Pair terms symmetrically. The recurrence shows f(j)+f(2r+1−j) f(j)+f(2r+1-j) 是nonincreasing as j j 移动s 从 11 到 r r , so 每个pair 是在least f(r)+f(r)=2f(r) f(r)+f(r)=2f(r). Th是proves lemma.