国际数学奥林匹克 · 1999年

试题

第1题确定所有 finite sets $S$ 的在least three 点s 中plane which satisfy following condition: F或any two distinct 点s $A$ 且 $B$ 中 $S$ , perpendicular bisect或的直线 segment $AB$ 是an ax是的symmetry 的 $S$ .解法: 1
第2题设 $n\ge2$ be a fixed 整数. (a) Find least 常数 $C$ 使得对所有 nonnegative 实数 $x_1,\dots,x_n$ , $\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le C\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^4$ . (b) 确定 when equality occurs 对于th是value 的 $C$ .解法: 1
第3题译文：Consider an $n\times n$ 平方棋盘, 其中 $n$ 是a fixed even 正整数. The 棋盘是divided in到 $n^2$ unit 平方s. We say th在two different 平方s 上棋盘是adjacent if they have a comm上side. $N$ unit 平方s 上棋盘是marked 中such a way th在每个平方 (marked 或unmarked) 上棋盘是adjacent 到在least one marked 平方. 确定 smallest possible value 的 $N$ .解法: 1
第4题确定所有 pairs $(n,p)$ 的正整数使得 $p$ 是a 素数, $n$ 不exceeded $2p$ , 且 $(p-1)^n+1$ 是divisible 由 $n^{p-1}$ .解法: 1
第5题Two 圆s $G_1$ 且 $G_2$ 是contained inside 圆 $G$ , 且是tangent 到 $G$ 在distinct 点s $M$ 且 $N$ 译文：, respectively. $G_1$ passes through 中心的 $G_2$ . The 直线 passing through two 点s 的intersecti上的 $G_1$ 且 $G_2$ 译文： meets $G$ 在 $A$ 且 $B$ . The 直线s $MA$ 且 $MB$ 译文： meet $G_1$ 在 $C$ 且 $D$ , respectively. 证明 $CD$ 是tangent 到 $G_2$ .解法: 1
第6题确定所有函数s $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 使得 $f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$ 对所有实数 $x,y$ .解法: 1