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第1题

对任意由四个互不相同的正整数组成的集合 A={a1,a2,a3,a4}A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}，记和 a1+a2+a3+a4a_1+a_2+a_3+a_4 为 sAs_A。设 nAn_A 为满足 1≤i<j≤41\le i<j\le4 且 ai+aja_i+a_j 整除 sAs_A 的数对 (i,j)(i,j) 的个数。求所有使 nAn_A 取到最大可能值的四个互不相同正整数组成的集合 AA。
第 2/5 步：迫使剩下两个和平分 sA
上一步下一步
通俗地说

若 a1+a4 整除 sA，则互补和 a2+a3 也整除 sA 的唯一方式是两者恰好把 sA 平分。

a1+a4=a2+a3=sA2a_1+a_4=a_2+a_3=\dfrac{s_A}{2}
详细分析

要使 nA=4n_A=4，需要 a1+a2,a1+a3,a1+a4,a2+a3a_1+a_2,a_1+a_3,a_1+a_4,a_2+a_3 都整除 sAs_A。设 d=a1+a4d=a_1+a_4；因为 d∣sAd\mid s_A，可写 sA=dts_A=dt，其中 t≥2t\ge2。于是 a2+a3=sA−d=d(t−1)a_2+a_3=s_A-d=d(t-1)，而它也要整除 sAs_A 就需要 d(t−1)∣dtd(t-1)\mid dt，即 (t−1)∣t(t-1)\mid t，即 (t−1)∣1(t-1)\mid1，从而必有 t=2t=2。因此 a1+a4=a2+a3=sA2a_1+a_4=a_2+a_3=\dfrac{s_A}{2}。