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第1题

对任意由四个互不相同的正整数组成的集合 A={a1,a2,a3,a4}A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}，记和 a1+a2+a3+a4a_1+a_2+a_3+a_4 为 sAs_A。设 nAn_A 为满足 1≤i<j≤41\le i<j\le4 且 ai+aja_i+a_j 整除 sAs_A 的数对 (i,j)(i,j) 的个数。求所有使 nAn_A 取到最大可能值的四个互不相同正整数组成的集合 AA。
第 3/5 步：将剩下两个和参数化
上一步下一步
通俗地说

sA 的另外两个较小的约数必须严格小于 sA/2，且其大小顺序与生成它们的数一致。

a1+a3=sAn,a1+a2=sAma_1+a_3=\dfrac{s_A}{n},\quad a_1+a_2=\dfrac{s_A}{m}
详细分析

由于 a3<a4a_3<a_4，有 a1+a3<a1+a4=sA/2a_1+a_3 < a_1+a_4 = s_A/2；因此写成 a1+a3=sAna_1+a_3=\dfrac{s_A}{n} 就迫使 n>2n>2，即 n≥3n\ge3。同理由 a2<a3a_2<a_3 得 a1+a2<a1+a3a_1+a_2<a_1+a_3，故写成 a1+a2=sAma_1+a_2=\dfrac{s_A}{m} 迫使 m>nm>n。