第1题

对任意由四个互不相同的正整数组成的集合

A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}

，记和

a_1+a_2+a_3+a_4

为

s_A

。设

n_A

为满足

1\le i<j\le4

且

a_i+a_j

整除

s_A

的数对

(i,j)

的个数。求所有使

n_A

取到最大可能值的四个互不相同正整数组成的集合

A

。

第 4/5 步：确定 n 与 m

上一步下一步

通俗地说

a1 为正转化为对 n、m 大小的限制，再结合 n<m 就只剩两种可能。

2a_1=(a_1+a_3)+(a_1+a_2)-(a_2+a_3)=s_A\left(\dfrac1n+\dfrac1m-\dfrac12\right)

详细分析

结合三个等式得到 $2a_1=(a_1+a_3)+(a_1+a_2)-(a_2+a_3)=s_A\left(\dfrac1n+\dfrac1m-\dfrac12\right)$ 。因为 $a_1>0$ ，故迫使 $\dfrac1n+\dfrac1m>\dfrac12$ 。若 $n\ge4$ ，则 $\dfrac1n\le\dfrac14$ ，从而需要 $1/m>1/4$ ，即 $m<4\le n$ ，与 $m>n$ 矛盾；故 $n=3$ 。此时 $\dfrac1m>\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$ 给出 $m<6$ ，结合 $m>n=3$ 只剩 $m\in\{4,5\}$ 。