第1题

当 $(n,m)=(3,4)$ 时，解线性方程组得到 $a_1=\dfrac{s_A}{24},\ a_2=\dfrac{5s_A}{24},\ a_3=\dfrac{7s_A}{24},\ a_4=\dfrac{11s_A}{24}$，即对正整数 $k$ 有 $A=\{k,5k,7k,11k\}$（此时 $s_A=24k$）。当 $(n,m)=(3,5)$ 时得到 $a_1=\dfrac{s_A}{60},\ a_2=\dfrac{11s_A}{60},\ a_3=\dfrac{19s_A}{60},\ a_4=\dfrac{29s_A}{60}$，即 $A=\{k,11k,19k,29k\}$（此时 $s_A=60k$）。在这两族中都可以直接验证 $a_1+a_4=a_2+a_3=s_A/2$，且 $a_1+a_3,a_1+a_2$ 整除 $s_A$，而 $a_2+a_4,a_3+a_4$ 严格介于 $s_A/2$ 与 $s_A$ 之间，故 $n_A=4$；这正是取到最大值的集合。