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第2题

设 SS 是平面上至少含两个点的有限集合,且 SS 中任何三点都不共线。所谓风车,是从过某一点 P∈SP\in S 的一条直线开始的过程:直线绕枢轴 PP 顺时针旋转,直到第一次与 SS 中另一个点相遇为止。这个点 QQ 接替成为新的枢轴,直线又绕 QQ 顺时针旋转,直到下一次与 SS 中的点相遇。这个过程无限地进行下去。证明可以选取 SS 中的一点 PP 以及过 PP 的一条直线,使得由此得到的风车让 SS 中每一个点都无穷多次成为枢轴。
第 3/6 步:右侧点数将永远保持平衡
通俗地说

每次换轴时,旧枢轴与新枢轴只是互换左右两侧,因此在整个风车过程中右侧点数其实从未改变。

⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor
详细分析

从上一步构造的常规平衡直线开始风车过程。每次换轴时,直线恰好扫过一个顶点,旧枢轴与新枢轴只是互换左右两侧,其余顶点都停留在原来一侧;因此每次换轴前后右侧点数完全相同。既然开始时为 ⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor,这个无限风车过程中出现的每一条常规直线也都恰有 ⌊n−12⌋\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor 个顶点在右侧,即又是一条平衡直线。