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第2题

设 SS 是平面上至少含两个点的有限集合，且 SS 中任何三点都不共线。所谓风车，是从过某一点 P∈SP\in S 的一条直线开始的过程：直线绕枢轴 PP 顺时针旋转，直到第一次与 SS 中另一个点相遇为止。这个点 QQ 接替成为新的枢轴，直线又绕 QQ 顺时针旋转，直到下一次与 SS 中的点相遇。这个过程无限地进行下去。证明可以选取 SS 中的一点 PP 以及过 PP 的一条直线，使得由此得到的风车让 SS 中每一个点都无穷多次成为枢轴。
第 4/6 步：每个常规方向在每次半圈旋转后都会再现
上一步下一步
通俗地说

换轴只会发生在由点对确定的有限多个方向处，而将整个构形旋转半圈会使其复原，因此同样的方向列表会永远重复出现。

180∘180^\circ
详细分析

换轴只会在旋转直线的方向恰好与连接两个顶点的线段方向重合时发生，而这样的方向只有有限多个。将任意直线旋转 180∘180^\circ 会使其回到经过同样这些点的同一条（无方向）直线，因此引起换轴的有限方向模式在每次旋转 180∘180^\circ 后都会原样重复。由于风车永远沿顺时针方向继续旋转，曾经出现过的有限多个常规方向中的每一个都会在此后每个 180∘180^\circ 后再次出现，即出现无穷多次。