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第3题

设 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} 是定义在实数集上的实值函数，对任意实数 xx 和 yy 满足 f(x+y)≤yf(x)+f(f(x))f(x+y)\le yf(x)+f(f(x))。证明对所有 x≤0x\le0 都有 f(x)=0f(x)=0。
第 1/5 步：为两个特殊值命名并在整体上估计 f
上一步下一步
通俗地说

代入 x=0 会把不等式变成用 f(0) 与 f(f(0)) 表示的 f 的简单线性上界。

f(y)≤ay+bf(y)\le ay+b
详细分析

设 a=f(0)a=f(0)，b=f(f(0))=f(a)b=f(f(0))=f(a)。在给定不等式中令 x=0x=0，即得对任意实数 yy 都有 f(y)≤ay+bf(y)\le ay+b。