第3题

由于对每个 $x$ 都有 $f(f(x))\le b$（第二步），原不等式简化为对任意 $x,y$ 都有 $f(x+y)\le yf(x)+b$。将 $(x,y)$ 换成 $(x+y,-y)$ 得到 $f(x)\le -yf(x+y)+b$。另一方面，当 $y<0$ 时，用负数 $y$ 乘以 $f(x+y)\le yf(x)+b$ 会反转不等号并整理为 $-yf(x+y)\le -y^2f(x)-yb$。将两者结合得到 $f(x)\le -y^2f(x)+b(1-y)$，即对每个 $y<0$ 都有 $f(x)\le\dfrac{b(1-y)}{1+y^2}$。当 $y\to-\infty$ 时右边趋于 $0$，故 $f(x)$ 不能超过任何正数，即对任意实数 $x$ 都有 $f(x)\le0$。