第3题

设

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

是定义在实数集上的实值函数，对任意实数

x

和

y

满足

f(x+y)\le yf(x)+f(f(x))

。证明对所有

x\le0

都有

f(x)=0

。

第 5/5 步：用 y = -x 完成证明

上一步下一步

通俗地说

既然两个常数都为零，将一点与其负向平移相比较，就能说明负输入也不可能严格小于零，从而恰好锁定为零。

f(x)=0\ \text{for all}\ x\le0

详细分析

当 $a=b=0$ 时，第三步的不等式 $f(x+y)\le yf(x)+b$ 变为 $f(x+y)\le yf(x)$ 。令 $y=-x$ 得 $f(0)\le -xf(x)$ ，而 $f(0)=a=0$ ，故对任意实数 $x$ 都有 $xf(x)\le0$ 。当 $x<0$ 时，用负数 $x$ 去除会反转不等号，得到 $f(x)\ge0$ ；结合第三步的整体上界 $f(x)\le0$ ，就迫使对所有 $x<0$ 都有 $f(x)=0$ ，而 $f(0)=0$ 已经知道。因此 $f(x)=0\ \text{for all}\ x\le0$ 。